Dr inż. Agata Fronczak
Politechnika Warszawska

W ostatniej dekadzie badania sieci złożonych stały się jednym z najciekawszych przykładów interdyscyplinarnych zastosowań fizyki statystycznej [1-3]. Zbudowane z setek, tysięcy, a nawet milionów elementów, pełniących różnorakie funkcje, powiązanych w skomplikowany, a jednak precyzyjny sposób, sieci, które rosną, dopasowują się do zmian otoczenia, optymalizują swoje działanie, opanowały wyobraźnię naukowców z wielu dziedzin. Jedną z przyczyn, dla których badania nad sieciami rzeczywistymi (komputerowymi, genetycznymi, społecznymi, ekonomicznymi etc.) stały się tak atrakcyjne, było odkrycie tego, że mimo funkcjonalnej różnorodności wymienione układy mają wiele wspólnych cech. I chociaż spośród tych cech najbardziej spektakularny był odkryty przez A. Baràbasiego i R. Albert, opisany w magazynie Science [4] wspólny wielu sieciom, potęgowy (bezskalowy) rozkład stopni wierzchołków, dzisiaj wiadomo, że prawa potęgowe pojawiają się w nauce o sieciach złożonych niemal na każdym kroku.

Wszechobecność praw potęgowych w sieciach rzeczywistych, jak również ich znaczenie dla tych układów starano się zrozumieć tworząc teoretyczne modele sieci. W ten sposób, modele, obok analizy sieci rzeczywistych, stały się jednym z głównych filarów, na których opiera się nauka o sieciach złożonych.

Najprostszą klasyfikacją modeli sieciowych jest ich podział na sieci deterministyczne i przypadkowe (zob. rozdz. 4 w [2]). Sieci przypadkowe można dalej podzielić na sieci statyczne i ewoluujące. Ten podział sieci przypadkowych nawiązuje do znanego podziału fizyki statystycznej na równowagową, która zajmuje się układami będącymi w stanie równowagi, oraz nierównowagową, której obszar zainteresowań obejmuje układy niebędące w stanie równowagi, jednak mogące przebywać w pewnym nierównowagowym stanie stacjonarnym. Podczas warsztatów zostaną omówione  równowagowe modele sieci przypadkowych, tzw. wykładnicze grafy przypadkowe, znane również jako sieci o zadanym hamiltonianie strukturalnym.

Dla fizyków wykładnicze grafy przypadkowe [5] są szczególnie proste (intuicyjnie zrozumiałe), ponieważ koncepcyjnie nawiązują one do zapoczątkowanej przez E.T. Jaynesa szkoły fizyki statystycznej opartej na zasadzie maksymalnej entropii [6], która jest formalnie równoważna tradycyjnej szkole fizyki statystycznej zapoczątkowanej przez Boltzmanna i Gibbsa. Ponieważ modele te są z definicji modelami sieci równowagowych, w ich dyskusji w naturalny sposób pojawia się pojęcie przestrzeni stanów, jako zbioru możliwych realizacji badanych sieci, , z określonym na tym zbiorze, niezależnym od czasu, wykładniczym rozkładem prawdop., , gdzie jest wspomnianym już hamiltonianem sieciowym.

Podczas warsztatów omówione zostaną zespoły sieci (wykładnicze grafy przypadkowe) opisane różnymi hamiltonianami sieciowymi. W szczególności, dyskusji poddane zostaną: sieci o zadanej średniej liczbie krawędzi, które są równoważne klasycznym grafom przypadkowym Erdösa-Rènyi, sieci o zadanej sekwencji stopni węzłów [7], zespoły sieci ważonych oraz sieci o strukturze modułowej [8]. Omówione zostaną przykłady zastosowań grafów wykładniczych do analizy sieci rzeczywistych. W tym kontekście na szczególne zainteresowanie zasługuje praca na temat sieci handlu światowego [9], w której znany od wielu lat, słynny ekonometryczny model, tzw. grawitacyjny model handlu (ang. gravity model of trade), został zdefiniowany w języku wykładniczych grafów przypadkowych. Dzięki temu, stało się możliwe opracowanie bardzo ogólnego, nieznanego ekonomistom twierdzenia (typu fluktuacje-odpowiedź), które pokazuje, w jaki sposób zmiana produktu krajowego brutto handlujących ze sobą państw wpływa na wielkość bilateralnej wymiany handlowej między tymi państwami. Twierdzenie to znalazło potwierdzenie w danych ekonomicznych.

[1] M.E.J. Newman, Networks. An Introduction, Oxford University Press, 2010.
[2] A. Fronczak, P. Fronczak, Świat Sieci Złożonych. Od Fizyki do Internetu, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
[3] S.N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, Evolution of Networks. From Biological Nets to the Internet and WWW, Oxford University Press, 2010.
[4] A.-L. Barabasi, R. Albert, Emergence of scaling in random networks, Science 286, 509 (1999).
[5] A. Fronczak, Exponential random graphs, rozdział w Encyclopedia of Social Network Analysis and Mining, R. Alhajj, J. Rokne (Eds.), Springer-Verlag, 2014.
[6] E.T. Jaynes, Information theory and statistical mechanics, Phys. Rev. 106, 620 (1957).
[7] J. Park, M.E.J. Newman, Statistical mechanics of networks, Phys. Rev. E 70, 066117 (2004).
[8] P. Fronczak, A. Fronczak, M. Bujok, Exponential random graph models for networks with community structure, Phys. Rev. E 88, 032810 (2013).
[9] A. Fronczak, P. Fronczak, Statistical mechanics of the international trade network,
Phys. Rev. E 85, 056113 (2012).