Niebagatelne znaczenie w rozwoju nauk medycznych ma stosowanie matematyki w opisie funkcjonowania ciała ludzkiego. Niniejsza praca skupia się na aktualnych możliwościach numerycznego modelowania Metodą Elementów Skończonych (MES), Objętości Skończonych (MOS), Elementów Brzegowych (MEB), Różnic Skończonych (MRS) oraz algorytmami pokrewnymi, określanymi dalej wspólnie jako EMN (Elementowe Metody Numeryczne). Wspólną ich cechą jest odwzorowywanie zjawisk i materii z rozdzielczością przestrzenną rzędu milimetrów lub co najwyżej mikrometrów, co kontrastuje z nanoskalą właściwą dynamice molekularnej. Liczne zastosowania EMN w medycynie można podzielić ze względu na przedmiot badania, dominującą dziedzinę fizyki oraz spodziewane korzyści aplikacyjne. Typowym przedmiotem modelowania stają się kości, mięśnie, większe naczynia krwionośne lub nerwy. Ważnym nurtem światowych badań jest mechanika wytrzymałości tkanek na równi z modelowaniem przepływów krwi. Połączenie tych obszarów, a także znaczny wzrost mocy obliczeniowej, pozwalają obecnie na wykonywanie symulacji śródoperacyjnych, biorących pod uwagę cechy konkretnego pacjenta. Mniejszą, ale niepomijalną rolę gra matematyczne modelowanie zjawisk elektromagnetycznych i cieplnych, np. w kontekście leczenia nowotworów czy dermatologii. Osobnym zagadnieniem rozważanym w tej pracy jest modelowanie numeryczne EMN całego ciała ludzkiego, znajdujące zastosowanie w fizjologii, sporcie, transporcie, medycynie sądowej, a także projektowaniu odzieży. Ewolucja modeli, zapoczątkowana układami 1D, umożliwia dziś realistyczną reprezentację narządów wewnętrznych, a także elementów charakterystycznych wyłącznie dla osoby żywej, w tym przepływów krwi i zmienności napięcia mięśniowego.

Praca prezentuje wybrane algorytmy grupowania danych i ich zastosowanie do segmentacji wielomodalnych obrazów medycznych. Wielomodalny obraz medyczny jest zdefiniowany jako zbiór obrazów prezentujących ten sam przekrój ciała, ale pozyskanych różnymi technikami obrazowania i odzwierciedlających różne właściwości fizyczne i chemiczne, zarówno anatomiczne jak i funkcjonalne. W pracy przedstawiono ogólne wprowadzenie do zagadnienia segmentacji obrazów medycznych oraz grupowania danych. Opisano algorytmy grupowania danych szczególnie przydatne podczas segmentacji obrazów medycznych, w tym, modele łącznych rozkładów prawdopodobieństw, metody fizyki statystycznej korzystające z zasady maksimum entropii oraz metody bazujące na teorii zbiorów rozmytych. W pracy przedstawiono również przykłady segmentacji przy użyciu wybranych metod grupowania danych dla trójmodalnych obrazów MRI.

Rytm serca i rytm oddechowy to dwa najważniejsze rytmy w organizmie człowieka. W pracy omówione są rozmaite aspekty relacji między tymi rytmami: w dziedzinie czasu, w dziedzinie częstości i w dziedzinie fazy. Opisane są również metody matematyczne, używane do badania konkretnego aspektu relacji rytmu oddechu i rytmu serca. Oprócz przeglądu najważniejszych pozycji literatury, praca zawiera symulacje numeryczne wybranego modelu węzła zatokowego, ukazujące ciekawy aspekt jego dynamiki. Wyniki symulacji modelu Akselrod wykazują podobieństwo do pomiarów eksperymentalnych mocy widmowej zmienności rytmu serca w funkcji częstości oddechowej (rejestrowane w warunkach kontrolowanego oddechu). Omówiona jest koncepcja wykorzystania badanego zjawiska do tworzenia nowych, doskonalszych narzędzi diagnostyki kardiologicznej.

Praca przedstawia opis metody bootstrap – jednej z nieklasycznych metod statystycznych. W szczególności koncentrujemy się na wykorzystaniu tej metody do estymacji nieznanych rozkładów statystyk z próby.

Metoda bootstrap jest jedną z nieklasycznych metod statystyki. W pracy tej opisujemy, jak przy pomocy tej metody można estymować parametry zmiennej losowej oraz szacować przedziały ufności dla tych parametrów. Pokazujemy, jak techniki te mogą być stosowane do testowania pewnych hipotez statystycznych, w tym związanych z szacowaniem parametrów regresji liniowej.

Zastosowanie relatywnie prostych operacji matematycznych umożliwia już na etapie projektowania optymalizację konstrukcji optoelektronicznych systemów pomiarowych, zapewniając im koincydencję dobrych parametrów metrologicznych z prostotą i niską ceną. W pracy przedstawiono i porównano metody matematyczne syntezy źródeł promieniowania optycznego: sumacyjną i iloczynową, które wykorzystuje się w interferometrii niskokoherentnej do rozwiązania problemu poprawnej identyfikacji prążka centralnego w interferogramie. Zastosowanie ww. metod do modyfikacji procedur pomiaru i przetwarzania danych umożliwia zmniejszenie stosunku sygnał-szum, wymaganego do poprawnej identyfikacji centralnego prążka w interferogramie. Pozwala to na zwiększenie czułości pomiaru, a dzięki temu na poszerzenie zakresu aplikacji metody o badania materiałów o niejednorodnej strukturze oraz o istotnej stratności w paśmie optycznym, w szczególności biomateriałów.

W pracy opisane zostały różne rodzaje modeli matematycznych do opisu zjawisk przyrodniczych. Podany jest przykład modelu walki systemu immunologicznego z infekcją wirusową. Zaprezentowane są także wyniki eksperymentów numerycznych modelu oraz analiza znaczenia pewnych jego parametrów.

Subdyfuzja jest procesem rozprzestrzeniania się substancji zachodzącym w ośrodkach, w których ruch cząsteczek jest znacząco utrudniony przez wewnętrzną strukturę ośrodka (co ma miejsce np. w żelach i ośrodkach porowatych). Jakościowo proces ten różni się od dyfuzji normalnej, jest od niej dużo wolniejszy. W modelowaniu stochastycznym zakłada się, że średni czas oczekiwania na przeskok subdyfuzyjnej cząsteczki, poruszającej się w sposób podobny do ruchu Browna, jest nieskończony. W niniejszej pracy pokazano, jak to założenie prowadzi do równań różniczkowych z pochodnymi czasowymi rzędu ułamkowego, opisujących subdyfuzję. Przedstawione zostały ponadto różnego rodzaju pochodne ułamkowe, także w krótkim ujęciu historycznym. Jako przykład zastosowania ułamkowego subdyfuzyjnego równania różniczkowego przedstawione zostały jego rozwiązania w układzie membranowym dla różnych warunków brzegowych na membranie.

Proces subdyfuzji-reakcji opisywany jest przez równania subdyfuzji-reakcji, które są nieliniowymi równaniami różniczkowymi z pochodnymi rzędu ułamkowego. Dotychczas nie zostały znalezione ogólne rozwiązania takich równań. Jednakże dla układu, w którym dwie mobilne substancje są odseparowane w chwili początkowej, udało się wyznaczyć stężenia w obszarze dyfuzyjnym oraz znaleźć dokładną postać czasowej ewolucji frontu reakcji przy pomocy metody przybliżenia quasi-statycznego. Otrzymane wyniki zostały potwierdzone przez obliczenia numeryczne.

W wielu procesach społecznych i biologicznych występują opóźnienia czasowe. Mogą one prowadzić do zachowań oscylacyjnych. Pokażemy, że obecność oscylacji zależy nie tylko od wielkości opóźnienia, ale też od przyczyny jego występowania. Niezwykle istotny jest więc etap konstrukcji odpowiedniego modelu. Przedyskutujemy w tym kontekście klasyczny model gry ewolucyjnej z równowagą, w której współistnieją dwa typy zachowań oraz prosty model ekspresji genu z opóźnioną degradacją białka. Skonstruujemy odpowiednie równania różnicowe i różniczkowe z opóźnieniami czasowymi, które zachowują się w sposób odmienny od dotychczas rozważanych równań.

Przedstawiony w pracy model ma charakter uniwersalny, gdyż może zostać wykorzystany w analizie szeregów czasowych różnego pochodzenia: od danych medycznych po fluktuacje cen walut. Poniżej zaproponowano użycie modelu do badania zmienności rytmu serca. Do konstrukcji modelu niezbędne są sygnały rzeczywiste i na ich podstawie obliczane są składowe równania Langevina.
Jego znajomość umożliwia odtworzenie szeregu czasowego. Wkład szumowy modelu posłużył do zdefiniowania asymetrii rytmu serca. W pracy przedyskutowano interpretację asymetrii i zaproponowano wyjaśnienie jej znaczenia w procesie regulacji zmienności rytmu. Przeprowadzona została analiza modelu dla pacjentów ze stenozą aortalną. To badanie ukazuje istnienie mechanizmów kompensujących nieprawidłową dynamikę przyspieszeń w tej grupie chorych. Brak kompensacji może świadczyć o występowaniu zwiększonego ryzyka zgonu operacyjnego (lub pooperacyjnego) pacjentów kierowanych na wymianę zastawki aortalnej.

Niniejsza praca szczegółowo analizuje wariancyjne deskryptory asymetrii rytmu serca. Przedyskutowana została fizjologiczna motywacja do przeprowadzenia
podziału parametrów wariancyjnych na części zależne od zwolnień i przyspieszeń. Wszystkie wariancyjne deskryptory zostały szczegółowo opisane i wyprowadzone. Pracę zamyka część omawiająca numeryczne metody obliczania opisywanych wcześniej parametrów oraz analiza zagadnienia ich dokładności.

W pracy badane są własności rozwiązań niesplotowego równania różnicowego Volterry postaci

gdzie , , oraz . Równanie badane jest w dwóch przypadkach: przy założeniu okresowości ciągu , a następnie z pominięciem tego założenia. W pracy podane zostały warunki dostateczne istnienia rozwiązania ograniczonego. Następnie badane były warunki dostateczne istnienia rozwiązania asymptotycznie równoważnego danemu ciągowi zależnemu od współczynników równania. W szczególności podano warunki, przy których dla każdej stałej istnieje rozwiązanie o własności

gdzie przy .

Od wielu lat kwantyfikacja uszkodzeń DNA wywołanych przez różne rodzaje promieniowania korpuskularno-falowego, jak i związków chemicznych, jest przedmiotem szerokich badań teoretycznych i eksperymentalnych. Badania te, mając na celu szczegółowe i dogłębne poznanie mechanizmów powstawania uszkodzeń, wspomagają jednocześnie rozwój nowoczesnych terapii nowotworowych. Wstępne pomiary wykazały, że wiele z tych czynników może prowadzić do trwałego uszkodzenia cząsteczek DNA. Stało się jasne, że niezbędny jest rozwój technik eksperymentalnych umożliwiających badanie zarówno procesów prowadzących do uszkodzeń nici, jak i propagacji uszkodzeń związanych z pobudzeniem ośrodka, w którym znajduje się badana molekuła. Jednocześnie pojawił się również problem przewidywania, w jaki sposób uszkodzenie wywołane przez czynniki zewnętrzne propaguje w podwójnej helisie cząsteczki DNA oraz w jaki sposób formowanie i akumulacja jej pojedynczych pęknięć wpłynie na powstawanie podwójnego, śmiertelnego dla komórki, pęknięcia cząsteczki DNA. W tej pracy najważniejsze modele probabilistyczne, opisujące powstawanie różnego typu uszkodzeń w niciach kwasu deoksyrybonukleinowego oraz propagację uszkodzeń, zostały zebrane i porównane.

Proces oddychania u zwierząt jest niezbędny do życia, ale w przypadku zwierząt stałocieplnych istotne są efekty związane z dyssypacją energii, tym większe, im zwierzę prowadzi bardziej aktywny tryb życia i/lub żyje w ekstremalnych warunkach środowiskowych. Im bardziej aktywne są zwierzęta, tym większe jest ich zapotrzebowanie energetyczne i na tlen. Oba te czynniki związane są z przyspieszeniem metabolizmu. Konsekwencją zwiększonych zapotrzebowań energetycznych jest konieczność dostarczania odpowiednich ilości pożywienia, to znowu prowadzi do przyspieszenia metabolizmu, czyli zwiększenia zapotrzebowania na tlen, aby możliwe było utlenienie substancji pokarmowych. W związku z tym ważne jest, aby proces oddychania był jak najbardziej wydajny, tj. jak największa ilość tlenu cząsteczkowego była dostarczana do komórek przy jak najmniejszych stratach i małym nakładzie energii. Aby to było możliwe, układ oddechowy musi się w jakiś sposób optymalizować. Wiemy, że układ oddechowy wszystkich ssaków jest zbudowany tak samo i składa się z takich samych elementów, chociaż różni przedstawiciele ssaków wykazują różną aktywność i żyją w różnych środowiskach. Dopiero szczegółowe badania prowadzone z wykorzystaniem mikroskopii elektronowej wskazują na pewne różnice morfologiczne w budowie układu oddechowego. Różnice te sprowadzają się głównie do zmian wielkości geometrycznych (długości, przekroju, grubości). Potrzebne stało się stworzenie modelu matematycznego, który uwzględniałby specyficzną budowę układu oddechowego i pokazał, czy różnice w parametrach geometrycznych podstawowych elementów układu oddechowego mogą świadczyć o jego specyficznych funkcjach, wynikających z zapotrzebowań energetycznych danego gatunku.

Model pseudofraktalny opiera się na funkcjach zależnych od średnicy i długości podstawowych elementów układu oddechowego (oskrzeli). Uwzględnia on asymetryczność układu oraz powtarzalność jego elementów podstawowych. W pracy zaprezentowane są wyniki badań kilku zespołów badawczych, które otrzymano na podstawie przedstawionego modelu pseudofraktalnego i zweryfikowano metodami eksperymentalnymi.