dr hab. Dariusz Bugajewski, prof. UAM

Wydawać by się mogło, iż teoria funkcji o ograniczonej wariacji, która została zapoczątkowana przez Jordana w roku 1881, jest już całkowicie wyeksploatowana. Nic bardziej mylnego – nadal wiele kwestii, nawet bardzo podstawowych, pozostaje otwartych. W szczególności należy wymienić tutaj fundamentalne pytania dotyczące teorii nieautonomicznych operatorów superpozycji działających w przestrzeniach funkcji o ograniczonej wariacji w sensie Jordana oraz innych podstawowych typów. Dla przykładu absolutnie podstawowa kwestia dotycząca warunków koniecznych oraz dostatecznych na to, by nieautonomiczny operator superpozycji przekształcał przestrzeń funkcji o ograniczonej wariacji w sensie Jordana w siebie ciągle jest otwarta.

W wykładzie przedstawimy przede wszystkim nowe wyniki dotyczące nieliniowych operatorów superpozycji w przestrzeni funkcji o ograniczonej wariacji w sensie Jordana oraz wskażemy ich zastosowania w teorii nieliniowych równań całkowych. Omówimy kilka otwartych problemów tej teorii oraz potencjalne kierunki jej rozwoju.

Prezentacje:

• O pewnych uogólnieniach wariacji w sensie Jordana (dr D. Bugajewska, WMI UAM Poznań).
• Pewne zastosowania fizyczne funkcji o ograniczonej wariacji (dr P. Kasprzak, WMI UAM Poznań).
• Zastosowania funkcji o ograniczonej wariacji w przetwarzaniu obrazów (dr P. Maćkowiak, KEM UE Poznań).
• Bardzo interesujące uogólnienie pojęcia wariacji w sensie Jordana, mianowicie tak zwana Λ-wariacja, zostało wprowadzone przez Watermana w 1972 roku. W prezentacji tej omówimy nowe pojęcie Λ-ograniczonej wariacji, które jest określone na klasach funkcji równych prawie wszędzie oraz podamy własności tak zwanych „dobrych reprezentantów”, to znaczy takich funkcji, których Λ-wariacja jest równa Λ-wariacji rozważanej klasy równoważności, w tym nowym sensie. Chcemy również omówić podstawowe geometryczne i topologiczne własności przestrzeni takich klas funkcji, (ośrodkowość, ścisła wypukłość, jednostajna wypukłość), tworząc podstawy do badania równań nieliniowych w tych przestrzeniach.
• Okazuje się, iż funkcje o ograniczonej wariacji (różnych typów) znalazły szereg zastosowań, m.in. w teorii szeregów Fouriera, w teorii całek nieabsolutnie zbieżnych, w geometrycznej teorii miary, w teorii równań fizyki matematycznej, a nawet w teorii przetwarzania obrazu. W szczególności wiadomo, że rozwiązania wielu równań całkowych, które opisują konkretne zjawiska fizyczne są funkcjami o ograniczonej wariacji w sensie Jordana. Celem tej prezentacji będzie opowiedzenie o grupie zagadnień, z języka angielskiego zwanych „free discontinuity problems”, wśród których najbardziej znany jest problem minimalizacji pewnego funkcjonału, zwanego funkcjonałem Mumforda-Shaha. Funkcjonał ten stosowany jest w rekonstrukcji obrazów, a jego przewaga nad innymi (związanymi raczej z funkcjami klasy C1) polega na tym, iż zapobiega on wygładzaniu wzdłuż ostrych krawędzi, dzięki czemu pozwala on zachowanie konturów obiektu.
• Techniki odzyskiwania „rzeczywistego” obrazu z obrazu rozmytego/zniekształconego są wykorzystywane w celu analizy np. zdjęć satelitarnych, zdjęć rentgenowskich, obrazów uzyskanych w tomografii komputerowej, zdjęć archiwalnych itp. Okazuje się, że wiele z tych technik korzysta z zaawansowanego aparatu matematycznego. Omówimy pokrótce podstawowe idee matematyczne stosowane w przetwarzaniu obrazów. Zwrócimy szczególną uwagę na zastosowania funkcji o ograniczonej wariacji. Ponadto podamy konkretne przykłady zastosowań tych algorytmów odzyskiwania obrazów.

Tytuł wykładu lidera:
Nieliniowe operatory superpozycji w przestrzeniach funkcji o ograniczonej wariacji w sensie Jordana.