Artykuły przesłane na portal Centrum Zastosowań Matematyki
Pułapki opisu matematycznego elektrycznej komórki
Teodor Buchner
Streszczenie. Niniejsza praca dotyczy pułapek występujących w opisie teoretycznym czynnosci elektrycznej komórek. Istniejąca teoria jest źródłem nieporozumień, wynikających z pominięcia mechanizmów fizycznych, leżących u podstaw opisu teoretycznego. Po wprowadzeniu podstawowej teorii opisującej własności elektryczne komórki przedstawione są podstawowe klasy modeli opisujących czynność elektryczną tkanki. Omówione są kolejno problemy związane z modelowaniem matematycznym tkanki żywej. W ramach wniosków postuluje się potrzebę stworzenia nowej klasy modeli matematycznych, służących do opisu czynności elektrycznej komórek.
Ocena ekonomicznej efektywności kredytów mieszkaniowych we franku szwajcarskim na tle kredytów w polskich złotych
Michał Buszko
Streszczenie. Niniejsze opracowanie prezentuje problematykę oceny efektywnosci ekonomicznej zaciągania i spłaty mieszkaniowych kredytów walutowych w Polsce. W pracy przedstawione zostało ujęcie teoretyczne oraz praktyczne problemu kredytowania walutowego na cele mieszkaniowe, w tym przyczyny, uwarunkowania oraz efekty. Do oceny efektywnosci ekonomicznej kredytowania walutowego proponowana jest metoda matematyczna, w ramach której wyrózniono cztery wskaźniki pomiaru efektywnosci – z perspektywy pojedynczego kredytobiorcy, jak również zbiorczo w czasie z punktu widzenia wszystkich kredytobiorców. Praca ponadto zawiera ocenę zmiany poziomu rat dla mieszkaniowych kredytów walutowych oraz kredytów w polskich złotych w warunkach zawirowan na rynku finansowym. Na podstawie przeprowadzonych badań stwierdzono, iż najbardziej korzystnymi okresami na zaciąganie kredytów walutowych były w szczególnosci miesiące marzec 2009 r. oraz wrzesien 2011 r., kiedy kurs CHF/PLN odnotowywał historyczne maksima. Osoby zaciągające kredyt w tym czasie na dzien 31.12.2014 osiągały średnią korzyść około 200 zł. miesięcznie na kazde 100.000 zł kredytu. Z kolei najbardziej niekorzystnym okresem rozpoczęcia korzystania z finansowania walutowego był sierpien 2008 r., tzn. przy historycznym poziomie minimum kursowego CHF/PLN. Osoby zaciągające wówczas kredyt płaciły na koniec grudnia 2014 r. srednio 215,82 zł miesięcznie więcej na każde 100.000 zł kredytu w porównaniu do osób kredytowanych w polskiej walucie. Ponadto badanie wskazało, iż na dzień 31.12.2014 większość kredytobiorców finansowanych we franku płaci wyższe raty niż w momencie zaciągania kredytu. Największy wzrost wydatków odnotowały przy tym osoby zaciągające kredyty walutowe w sierpniu 2008 r. Płacą one miesięcznie więcej o 320,28 zł. i 163,70 zł. odpowiednio dla kredytów 20 i 30 letnich.
Finite-time Lyapunov exponents in models of population dynamics
Katarzyna Buszko, Krzysztof Stefański
Abstract. In this paper we show how one can adapt Lapunov exponents for studying chaotic transient behavior in nonlinear maps. We characterize this phenomenon introducing average finite-time Lyapunov exponents. As examples for testing the method we take models of population dynamics that can generate both asymptotic chaos and transient chaos inside periodic windows.
Influence of a vertex removing on the connected domination number – application to ad-hoc wireless networks
Adriana Dapena, Magda Dettlaff, Magdalena Lemańska, Maria Jose Souto-Salorio
Abstract. A minimum connected dominating set (MCDS) can be used as virtual backbone in ad-hoc wireless networks for efficient routing and broadcasting tasks. To find the MCDS is an NPcomplete problem even in unit disk graphs. Many suboptimal algorithms are reported in the literature to find the MCDS using local information instead to use global network knowledge, achieving an important reduction in complexity. Since a wireless network continuously changes due to, for example, power restrictions, sensors faults, sensors disconnection etc., it is needed to adapt the MCDS to the new network configuration. In this paper, we study the influence of removing a node on the MCDS and we propose a localized reconfiguration algorithm to obtain the MCDS of the new network topology.
Delayed equations in applications
Urszula Foryś
Abstract. In this paper we make a review of analysis of delay differential equations in the context of applications. We illustrate described methods using simple examples known from biomathematical literature.
Elementarna matematyka za kulisami promocji
Dorota Gabor, Grzegorz Gabor
Streszczenie. Artykuł opisuje rzeczywiste doświadczenia autorów we współtworzeniu pewnej promocji, która pojawiła się na rynku w 2009 roku i, ponieważ w opinii organizatora i zleceniodawcy odniosła sukces, doczekała sie kolejnych edycji. Z powodu zobowiązań autorów wobec firmy organizującej promocję dokładnie opisane mogą być tylko algorytmy zastosowane w już zakończonych edycjach.
Model matematyczny opisujący zachowanie nietoperzy zamieszkujących dziuple
Ewa Girejko, Robert Jankowski, Ewa Schmeidel
Streszczenie. Na podstawie rzeczywistego zachowania nietoperzy występujących w Puszczy Białowieskiej przedstawiono matematyczny model zachowania się dowolnego ich gatunku zasiedlającego dziuple drzew. Model został przedstawiony w postaci układu równań rekurencyjnych. Zaproponowany układ dynamiczny opisuje poszukiwanie kryjówki odpowiedniej dla danego gatunku nietoperzy. Dwa punkty przyciągające (atraktory) funkcji występującej w pierwszym równaniu układu odpowiadaja˛ dziuplom, które zostają zasiedlone przez nietoperze, a punkt odpychający (repulsor) dziupli, która nie została zasiedlona.
Algorytmy śledzenia krzywych
Jacek Gulgowski
Streszczenie. W artykule przedstawione zostaną podstawowe metody numerycznego śledzenia krzywych zadanych przy pomocy równania uwikłanego 
, gdzie 
jest odwzorowaniem ciągłym (bądź klasy 
). Metody te znane są w literaturze pod angielskimi nazwami path following algorithms lub numerical continuation methods. Znajdują one liczne zastosowania – o części z nich również wspomnimy w poniższym tekście.
Modelowanie cykli koniunkturalnych przy pomocy równań różnicowych
Piotr Hachuła
Streszczenie. Artykuł stanowi przegląd wybranych modeli cykli koniunkturalnych opisanych językiem matematycznym przy pomocy równań różnicowych. Pokazano jak aparat matematyczny może zostać wykorzystany przez ekonomistów do formułowania oraz analizowania modeli ekonomicznych. We wprowadzeniu przedstawiono zarys ekonomicznej teorii cykli koniunkturalnych oraz podstawowe modele ekonomiczne. W zasadniczej części pracy zostały przedstawione dwa modele: Samuelsona oraz Goodwina-Hicksa – ich założenia, sformułowanie w postaci układów równań różnicowych oraz analiza stabilności punktów stałych.
Wykorzystanie modelowania matematycznego wywodzącego się z nauk przyrodniczych w socjologii analitycznej
Andrzej Jarynowski
Streszczenie. Opis procesów społecznych pozwalający na skuteczną predykcję czy optymalną interwencję stanowi wyzwanie współczesnej obliczeniowej socjologii analitycznej. Socjofizyka, bo o niej jest mowa w tym artykule, łączy metodologię i narzędzia matematyczne nauk ścisłych i przyrodniczych ze sferą ludzkich zachowań społecznych. Socjologowie od dawna zastanawiali się, jak mierzyć nastroje społeczne, czy inne charakterystyki społeczeństwa, a także jak przewidzieć i zrozumieć przemiany społeczne. Fizycy wykorzystali wyniki tych pomiarów i postanowili wykorzystać je w modelach bazujących zazwyczaj na analogii ze znanymi zjawiskami przyrodniczymi opisanymi wcześniej przez matematyków. Dodatkowo poprzez dostępność i ogrom cyfrowych danych dotyczących działań społecznych, np. w Internecie, powstała przestrzeń do zastosowań innowacyjnych dla nauk społecznych technik. Efekty niektórych takich deskrypcyjnych i eksplanacyjnych analiz (bez żadnych wzorów) zostały przedstawione w tym artykule.
Modelowanie epidemiologiczne dedykowane Polsce
Andrzej Jarynowski, Andrzej Grabowski
Streszczenie. Modelowanie matematyczne w epidemiologii chorób zakaźnych jest interdyscyplinarną nauką wspierającą instytucje zdrowia publicznego, które wedle obowiązujących procedur, mogą podejmować praktyczne interwencje. W bardziej rozwiniętych krajach skandynawskich, anglo-amerykańskich, czy tygrysach azjatyckich zalecenia wynikające z przewidywań modeli matematycznych oraz symulacji komputerowych po odpowiedniej weryfikacji i analizie mogą zostać wprowadzone w życie. W związku z tym, w modelach, testuje się strategie kontroli epidemiologicznej uwzględniając również analizę kosztów/zysków finansowych oraz populacyjnych. Inaczej jest w Polsce, a zadania jakie przed sobą postawiliśmy w tej pracy to zogniskowanie problemów, które należy rozwiązać i omówienie dotychczasowego dorobku w tej dziedzinie. Niestety brakuje w tym momencie w Polsce systemowych modeli matematycznych wspomagających epidemiologów, a wspierana komputerowo (cyfrowo) epidemiologia dopiero raczkuje. Co ciekawe, pierwszy matematyczny model epidemiologiczny jaki powstał w historii, opisywał umieralność na czarną ospę we Wrocławiu. Prezentujący swoje wyniki dotyczące tego modelu w 1766 roku w Paryżu, jeden z największych matematyków w dziejach ludzkości – Daniel Bernoulli, powiedział: „Po prostu wierzę, że w materii jakości życia ludzkiego, żadna decyzja nie zostanie podjęta, bez wszelkiej wiedzy, którą obliczenia i analizy mogą dostarczyć”.
Analiza oparta na wzorcach i jej zastosowania
Agnieszka Kaczkowska
Streszczenie. Analiza oparta na wzorcach jest obiecującą gałęzią analizy rzeczywistych danych, zyskującą coraz większą popularność. W niniejszej pracy opisane zostały sposoby definiowania wzorców porządkowych oraz entropii permutacyjnej. Zaprezentowano również możliwe zastosowania tej metody, szczególnie w badaniu zmienności rytmu serca. Na podstawie obliczeń dla różnorakich grup pacjentów pokazano, jak kształtuje się rozkład wzorców porządkowych i wartości entropii permutacyjnej wraz ze zmieniającym się stanem serca.
Nowe strategie obliczeniowe podczas badań ilościowych zależności struktura-aktywność/struktura-właściwości (QSAR/QSPR) leków
Piotr Kawczak, Tomasz Bączek
Streszczenie. Projektowanie leków jest procesem napędzanym przełomowymi odkryciami technologicznymi, co oznacza zastosowanie zaawansowanych metod eksperymentalnych i obliczeniowych. Obecnie techniki lub metody projektowania leków odgrywają najważniejsze znaczenie w przewidywaniu
profilu biologicznego, identyfikacji potencjalnych struktur, generowania struktur wiodących, a ponadto w celu przyspieszenia optymalizacji struktur wiodących w kierunku znalezienia odpowiednich kandydatów na leki. Ilościowe zależności struktura-aktywność (QSAR), struktura-właściwości (QSPR) lub struktura retencja (QSRR) służą jako cenne narzędzia do przewidywania w projektowaniu leków. Od dziesięcioleci metody QSAR/QSPR/QSRR mają zastosowanie w analizie zależności między właściwościami związków chemicznych i ich biologiczną aktywnością, aby uzyskać wiarygodny model statystyczny do prognozowania aktywności nowo syntezowanych związków.
Względny niedostatek, czyli matematyczne modelowanie zawiści
Grzegorz Kosiorowski
Streszczenie. Artykuł ma na celu przedstawienie idei względnego niedostatku i jej istotności w wyjaśnianiu motywacji ludzkich działań. W szczególności, prezentuje ścisłą matematycznie definicję tego pojęcia i sposoby jej zastosowania w modelowaniu zjawisk ekonomiczno-społecznych za pomocą teorii gier. Przedstawione są też dwa przykładowe modele wyjaśniające niebanalne skutki redystrybucji dóbr oraz motywacje imigrantów podejmujących decyzję o asymilacji (lub jej braku) w nowym miejscu pobytu.
Zastosowanie modelu błądzenia losowego cząsteczki do opisu procesów subdyfuzji-reakcji
Tadeusz Kosztołowicz
Streszczenie. Wniniejszej pracy zostanie zaprezentowany nowy model procesu subdyfuzji, który zachodzi w jednowymiarowym układzie zawierającym przeszkody w postaci częściowo przepuszczalnych membran, w układzie tym mogą występować reakcje powodujące zanikanie dyfundujących cząsteczek. Reakcje mogą być tutaj typowymi reakcjami chemicznymi, mogą także oznaczać procesy biologiczne polegające na śmierci poruszających się losowo osobników w wyniku kontaktu z toksycznym otoczeniem. Model ten oparty jest na równaniach różnicowych opisujących ruch cząsteczki w układzie membranowym, w którym położenia i czas są zmiennymi dyskretnymi. Po wyznaczeniu funkcji generującej dla tych równań przechodzimy do zmiennych ciągłych przy pomocy procedury opisanej w niniejszej pracy. Możliwość zaniku cząsteczki w wyniku reakcji jest uwzględniona w gęstości prawdopodobieństwa czasu oczekiwania cząsteczki na kolejny przeskok.
Hiperboliczne równanie dyfuzji
Tadeusz Kosztołowicz
Streszczenie. Paraboliczne równanie dyfuzji normalnej ma niefizyczną własność, a mianowicie jego rozwiązanie fundamentalne (funkcja Greena) przyjmuje niezerowe wartości dla dowolnych
wartości położenia i czasu. Oznacza to, że w układzie dyfuzyjnym mogą istnieć cząsteczki dla których prędkość propagacji przyjmuje dowolnie dużą wartość. Aby wyeliminować ową własność wprowadzane jest hiperboliczne równanie dyfuzji. W niniejszej pracy rozpatrzymy dyfuzję normalną oraz subdyfuzję w układzie zawierającym cienką membranę oraz w układzie elektrochemicznym, przy analizie procesu impedancji dyfuzyjnej. Paraboliczne i hiperboliczne równania subdyfuzji zawierają pochodne czasowe rzędu ułamkowego. Pokażemy, że różnice pomiędzy funkcjami opisującymi te procesy, wyznaczonymi odpowiednio z równania parabolicznego oraz równania hiperbolicznego, nie różnią się istotnie w przypadku dyfuzji zachodzącej w układzie membranowym, zaś prowadzą do jakościowo różnych wyników w układzie elektrochemicznym, w którym jeden z warunków brzegowych zakłada szybkie oscylacje stężenia w wybranym punkcie. Rozwiązania równań dyfuzji normalnej i subdyfuzji otrzymane zostaną przy wykorzystaniu metody transformaty Laplace’a rozwiązywania równań różniczkowych.
Wybrane metody nieliniowe w opisie matematycznym zjawisk zachodzących w układzie krążenia człowieka
Katarzyna Kośna, Jan Gierałtowski
Streszczenie. Kardiologia jest dziedziną medycyny, która rozwija się bardzo intensywnie. Stoją przed nią ogromne wyzwania ze względu na rosnącą liczbę przypadków schorzeń serca oraz stopień ich złożoności. W tej pracy zostały przedstawione wybrane nieliniowe metody stosowane w analizie
układu krążenia wraz z przykładami ich zastosowania. Okazuje się, że podejście matematyczne może pomóc potwierdzić zależności zachodzące między rytmem serca a innymi układami ludzkiego organizmu, zrozumieć procesy zachodzące w sercu, a nawet usprawnić przeprowadzenie zabiegów kardiologicznych.
Relative measurability and its applications
Jacek Leśkow
Abstract. The goal of this paper is to introduce the concept of the relative measurability as a tool in building models for the analysis of time series and signals. Relative measurability allows to avoid using unverifiable assumptions such as mixing. However, with the concept of relative measurability one can get convergence of estimators and even define resampling procedures as evidenced in the research of the Author. The novelty of this article are the results corresponding to incorporating the resampling schemes into relative measurability.
Zastosowanie entropii nieaddytywnych w opisie subdyfucji
Katarzyna Lewandowska, Tadeusz Kosztołowicz
Streszczenie. Przedstawiamy zastosowanie entropii nieaddytywnych w modelowaniu subdyfuzyjnych procesów transportu. Dla nieaddytywnych entropii Sharma-Mittala, Tsallisa i Gaussa wyznaczamy funkcje Greena tak, aby spełniały relację przyjętą w tym artykule jako definicję subdyfuzji i porównujemy je z funkcją Greena otrzymaną dla modelu subdyfuzji opartym na formalizmie continuous time random walk. Wskazujemy na użyteczność modeli opartych na entropiach nieaddytywnych, pomimo iż modele te nie mają jasnej interpretacji stochastycznej. Krótko omawiamy podobieństwa i różnice pomiędzy modelami opartymi na entropiach nieaddytywnych i modelem wyprowadzonym z formalizmu continuous time random walk oraz wskazujemy na eksperymentalne możliwości wyznaczenia wartości parametrów charakteryzujących modele oparte o entropie nieaddytywne.
Różne oblicza modeli matematycznych zmienności rytmu serca
Mateusz Soliński, Jan Gierałtowski
Streszczenie. Złożoność zmienności rytmu serca człowieka sprawiła, że modelowanie tego zjawiska stanowi niezwykle wymagające wyzwanie. W niniejszej pracy zostaną przedstawione kolejno trzy koncepcje, znacząco różniące się pod względem matematycznych założeń, dotyczące takich zagadnień jak fraktale, transformata Fouriera oraz procesy stochastyczne. Ten szeroki wachlarz stosowanego aparatu matematycznego przyczynił się do dużej różnorodności generowanych serii interwałów RR, szczególnie pod względem ich dynamicznych właściwości. Wraz z opisem modeli zostaną przedstawione zarówno ich mocne jak i słabe strony opierając się na wybranych wynikach analizy sygnałów. W ramach wniosków podane zostają wskazówki dążące do unifikacji pewnych elementów powyższych koncepcji mogących prowadzić do uzyskania optimum w opisie zjawiska zmienności rytmu serca człowieka.
Zastosowanie analizy fraktalnej w opisie struktury, morfologii i transportu masy przez membrany polimerowe
Monika Krasowska, Anna Strzelewicz, Gabriela Dudek
Streszczenie. Analiza fraktalna może stanowić podstawę ilościowego opisu struktury i morfologii materiałów polimerowych. Polega ona na wyznaczeniu wymiaru fraktalnego i uogólnionego wymiaru fraktalnego zbiorów wykazujących samopodobieństwo. Wyznaczone parametry mogą posłużyć do różnicowania struktury i morfologii materiałów polimerowych oraz opisu transportu na ich strukturze. Wyznaczenie wzajemnych relacji między morfologią, a własnościami transportowymi membrany pozwoli na projektowanie membran o pożądanych własnościach separacyjnych.
Stability of some simple models of turbulence
Tomasz Szarek
Abstract. We present stability results on Markov semigroups generated by simplified stochastic models appearing in hydrodynamics. We consider the Goy and the Sabra shell model with degenerate noise. The models capture some essential statistical properties of turbulent flows. Using the lower bound technique developed in [2, 13] we prove the existence of an invariant measure and its stability.
Aproksymacja przy pomocy operatorów Bernsteina
Barbara Wolnik, Jacek Gulgowski
Streszczenie. W niniejszym artykule przedstawiamy wybrane własności aproksymacyjne wielomianów Bernsteina funkcji ciągłej ![f\colon[0,1]\to\mathbb R](http://www.czm.mif.pg.gda.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af6c8bf372ef0eb100b8dd694825b20c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
w różnych przestrzeniach funkcyjnych. Podajemy również przykłady zastosowań tych aproksymacji do rozwiązywania zagadnień dla równań różniczkowych zwyczajnych.
A new approach for using cardinal B-splines
Barbara Wolnik, Witold Bołt
Abstract. In this paper we propose a new approach for using cardinal B-splines in numerical methods. The concept is based on shifting the original polynomials, constituting given cardinal B-spline to the interval ![[0, 1]](http://www.czm.mif.pg.gda.pl/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-caffaae885a1287e3dfc31bfb1cd0694_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. For these new polynomials there is a very simple recurrence relation for calculating their coefficients. Moreover, they are much more useful and powerful tools for fast and accurate numerical algorithms.
Synchronization problem of the coupled modified van der Pol equations in a model of the heart action
Beata Jackowska-Zduniak
Abstract. In this paper, modified van der Pol equations are considered as a description of the heart action. The physiological model functions over a narrow range of parameters and enables obtaining stable behaviour which is important in the case of a biological system. When some types of pathologies occur in the heart, it is possible to obtain chaotic behaviour. The purpose was to compare how two types of couplings (unidirectional and bidirectional) affect the behaviour of the van der Pol system. The coupling occurs in a healthy conduction system between the SA and AV nodes, however, under some circumstances a pathological coupling may occur. The van der Pol oscillator is a relaxation oscillator which can be synchronized. The synchronization properties of such system have also been studied as part of this paper. A mathematical model was created and numerical analysis of this system were performed in this paper.
